Вероятностное пространство. Модель случайного эксперимента, вероятностное пространство
Определение 1. Случайный эксперимент – это четко описанная последовательность действий, которая может быть воспроизведена сколько угодно раз, но исход исполнения которой не может быть предсказан с уверенностью. Невозможность точно угадать исход эксперимента вызвана большим количеством неконтролируемых нами факторов. Все исходы эксперимента обозначаются буквой .
Определение 2. Случайное событие – это любое подмножество всех возможных исходов случайного эксперимента .
Пример (случайного эксперимента):
- Посмотреть на экран биржевого терминала, чтобы узнать последнюю котировку ликвидной акции, например, акции РАО “ЕЭС” как исход эксперимента.
- Подбросить игральный кубик и посмотреть на исход эксперимента – количество выпавших очков.
Пример (случайного события):
- Случайное событие А = – увидеть, посмотрев на экран биржевого монитора, котировку акции РАО “ЕЭС” в этом диапазоне.
- Случайное событие В = {2, 3} – увидеть, посмотрев на упавшую кость, одну из этих цифр.
Сохранена оригинальная нумерация задачника ФКЦБ, предоставленного Биржевой школой. Ей не следует придавать значения – она сохранена для удобства лиц, готовящихся к сдаче экзамена на специалиста по ценным бумагам.
1.4.1.11
Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками:
I Наблюдается однократно
II Может наблюдаться неоднократно
III Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет
IV При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет
А) Верно только I и IV
*Б) Верно только II и III
В) Верно только II, III или IV
Г) Верно только III
Решение . Из определений 1, 2 очевидно, что верными высказываниями являются только IIи III, т.е. правильный ответ - Б.
Определение 3 . Все исходы эксперимента - это некоторое множество точек произвольной природы, называемое достоверным событием , т.к. при проведении случайного эксперимента какой-либо исход эксперимента обязательно произойдет.
Определение 4 . Невозможное событие – это то, в котором нет ни одного исхода эксперимента, и которое, следовательно, не может появиться в ходе эксперимента.
Достоверное событие в учебных целях изображаем кругом.
Определение 5 . Тогда случайное событие А – некоторая его подобласть, а дополнительным событием (или отрицанием к А ) к событию А называется множество “не А” – это все точки из из , не входящие в А (т.е. А и “не А” не пересекаются, а вместе составляют все ).
Определение 6. “Сумма” или “объединение” или событие “А или В” – то множество, что вбирает в себя все точки обоих множеств и только их
Определение 7. “Произведение” или “пересечение” или событие “А и В” – то множество, что вбирает в себя только те точки, что входят как в множество А, так и в множество В. Если такие общие точки отсутствуют, то есть произведение событий А и В является невозможным событием, то события А и В называются несовместными.
Замечание. В частности, ясно, что произведением событий А и “не А” является невозможное событие, т.к. у этих множеств по определению нет общих точек.
1.4.1.15.1 Чему будет равно произведение случайного события и события, дополнительного к данному событию
А) Достоверному событию
*Б) Невозможному событию
В) Самому событию
Решение. Из замечания к определению 7 следует, что правильным ответом является Б.
1.4.1.15.2 Чему будет равна сумма случайного события и события, дополнительного к данному событию
*А) Достоверному событию
Б) Невозможному событию
В) Дополнительному событию
Решение. Из определения 5 следует, что правильным ответом является А.
1.4.1.13.1 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное произведению событий А и В?
А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
*Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Решение. Из определения 7 следует, что сказать “произведение событий А и В” – все равно, что сказать “событие А и В”, т.е. правильный ответ – Б.
1.4.1.13.2 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное сумме событий А и В?
*А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Решение . Из определения 6 следует, что сказать “сумма событий А и В” – все равно, что сказать “событие А или В”, т.е. правильный ответ – А.
1.4.1.13.3
Случайное событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. Из перечисленных ниже укажите случайные события, дополнительные к случайному событию А
I Курс акций компании на завтрашних торгах будет равен 26 руб.
II Курс акций компании на завтрашних торгах будет не выше 26 руб.
III Курс акций компании на завтрашних торгах превысит 26 руб.
А) Только I
Б) Только II
В) Только I и III
*Г) Ничего из перечисленного выше
Решение. Нередко проще самому написать правильный ответ, а затем посмотреть под какой буквой дан правильный ответ.
В символах школьной математики наше событие А = {курс акций на завтрашних торгах будет не ниже 25 рублей} =
Ясно, что ни одно из этих событий B, C, Dне совпадает с событием “не А
” =
и обозначают его следующим образом Р
В
(А
) или Р
(А
В
), то есть:
Р
В
(А
)= Р
(А
В
)=[
Р
(А
В
) ⁄ Р
(В
)]
. При этом 0
≤ Р
В
(А
) ≤ 1, т.к. (А
В
)
⊆ В
и Р
(В
)>0
.
Независимость событий.
Три события независимы в совокупности,
если:
а) каждые два из них независимы, и
б) объединение каждых двух событий независимо с третьим событием.
Аналогично распространяется понятие независимости в совокупности на большее число событий.
Полная группа событий.
Формула полной вероятности.
Р (А )) = ∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )].
Вероятность события можно вычислять как взвешенную сумму условных вероятностей этого события при условии, что происходили события из полной группы событий, где в качестве весовых коэффициентов берутся вероятности соответствующих событий из полной группы.
Формула Байеса.
Р А (Н к ) = (Р (А Н к )) ⁄ (Р (А )) = (Р (А Н к )) ⁄ (∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )]).
Типовые модели случайного эксперимента.
Эксперимент с двумя альтернативными событиями - исходами У (успех) и Н (неудача).
Р (У) = p , Р (Н) = q = 1 p .
У(2) . Простейшая Урновая модель .
Извлечение шара из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна модели Бернулли В (½).
У(n ) илиR (n ). Классическая Урновая модель .
Извлечение шара из урны с n перенумерованными шарами. Элементарный исход – элементарное событие – номер извлеченного шара. Классическая вероятность с равномерным распределением вероятностей элементарных событий.
У(n
;
m
)
. Урновая модель.
Извлечение шара из урны с m
белыми и (n
–
m
) черными шарами.
Модель эквивалентна модели Бернулли В
(m
/
n
).
Последовательность случайных экспериментов.
У (n *n ). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с n шарами.
У (2 * 2). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна Биномиальной модели В (2; p ).
У(n *(n -1)). Последовательное извлечение без возвращения двух шаров из урны с n шарами.
Загрузка...
