Радиус вписанной окружности в четырехугольник добавить комментарий. Вписанная окружность

Определение 1. Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершины), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны).
Определение 2. Соседними называют вершины, которые являются концами одной стороны.
Определение 3. Вершины, не являющиеся соседними, называют противолежащими.
Определение 4. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника, называются его диагоналями.
Теорема 1. Сумма углов четырехугольника равна 360 о.
Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получаем, что сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 о, получаем искомое: 2 * 180 о =360 о
Определение d1. Описанный четырёхугольник - это четырёхугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. Напомним, что понятие стороны, касающейся окружности: окружность считается касающейся данной стороны, если она касается прямой, содержащей эту сторону, и точка касания лежит на этой стороне.
Определение d2. Вписанный четырехугольник - это четырёхугольник, все вершины которого принадлежат некоторой окружности.
Теорема 2. У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180 о.
Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то есть охватывают всю окружность, а сама окружность - это дуга величиной в 360 о, но мы знаем теоремму, которая твердит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можем утвердить, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180 о. Тем же способом можно жоказать эту теорему и для другой пары углов.
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность , которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

Для теорем 2 и 3 существуют обратные. Запишем их соответственно:

Теорема 4. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам
Теорема 5. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырехугольник, и него AB + CD = AD + BC. Проведем биссектрисы его углов A и D. Эти биссектрисы непараллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O на стороны AB, AD и CD перпендикуляры OK, OL и OM. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке O и радиусом OK касается сторон AB, AD и CD данного четырёхугольника. Проведём из точки B касательную к этой окружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке P. Тогда ABPD - описанный четырёхугольник. Следовательно, по свойству описанного четырёхугольника, AB + DP = AD + BP. Также, по условию, AB+ CD = AD + BC. Следовательно, BP + PC = BC, а значит, по неравенству треугольника, точка P лежит на отрезке BC. Следовательно, прямые BP и BC совпадают, а значит, прямая BC касается окружности с центром в точке O, то есть ABCD - описанный четырёхугольник по определению. Теорема доказана.
Теорема 6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник. Пусть также O - точка пересечения диагоналей. Тогда
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ BOC +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2·sin∠ BOC·(AO + CO)·(BO + DO) =
= 1/2·sin∠ BOC·AC·BD.
Теорема доказана.
Теорема d1. (Вариньона) Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон любого четырёхугольника есть параллелограмм, причём площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырёхугольник, а K, L, M и N - середины его сторон. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, а значит, KL параллельно AC. Также LM параллельно BD, MN параллельно AC, а NK параллельно BD. Следовательно, KL параллельно MN, LM параллельно KN. Значит, KLMN - параллелограмм. Площадь этого параллелограмма - KL·KN·sin∠ NKL =
1/2·AC·BD·sin∠ DOC = 1/2S ABCD .
Теорема доказана.

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства:

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

Таким образом

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙58 0 = 116 0

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360 0 – 116 0 = 244 0

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника

а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.

3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.

4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов паралле­лограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .

5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

6 . На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.

7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .

9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .

10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

а) CAD=CBD = 90°.

б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.

в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.

11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.

12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.

13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.

14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.

15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда

а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;

б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;

в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;

г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;

д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.

е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE - ромб;

ж) четырёхугольник, вершины которого - проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, - и вписанный, и описанный;

з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.

17 . Если a, b, c, d - последовательные стороны четырёхугольника, S - его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

18 . Формула Брахмагупты. Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с и d, то его площадь S может быть вычислена по формуле ,

где - полупериметр четырехугольника.

19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .

20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC - равносторонний.

21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.

22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке N. Тогда

а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;

б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вер­шинах ромба;

в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соеди­няющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.

23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противопо­ложных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.

24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.

29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника - тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.